Cours : Analyse Mathématique 1

Analyse Mathématique 1

Chapitre I : Limites et continuité des fonctions numériques d’une seule variable réelle

Généralité sur les fonctions numériques

Limite d’une fonction numérique
Limite finie d’une fonction quand la variable tend vers un nombre fini
Limite infinie d’une fonction quand la variable tend vers un nombre fini
Limite à droite et limite à gauche
Limite finie d’une fonction quand la variable tend vers l’infini
Limite infinie d’une fonction quand la variable tend vers l’infini
Propriétés des limites
Formes indéterminées
Opérations sur les limites
Étude des asymptotes et des branches infinies
Fonctions négligeables, fonctions équivalentes, quelques équivalents usuels

Continuité d’une fonction numérique
Fonction continue en un point
Fonction continue sur un intervalle
Fonction discontinue, cas de discontinuité
Prolongement par continuité
Règles opératoires sur les fonctions continues
Fonctions monotones
Propriétés des fonctions continues sur un intervalle
Propriétés des fonctions continues strictement monotones sur un intervalle
Fonctions réciproques

Fonctions logarithmiques et exponentielles

Chapitre II : Dérivabilité des fonctions numériques et applications

Introduction
Fonction différentiable en un point

Fonction dérivable en un point
Interprétation géométrique de la dérivée
Dérivée à droite et dérivée à gauche
Dérivabilité et continuité
Dérivabilité sur un intervalle
Opérations sur les fonctions dérivées
Dérivée de la fonction réciproque
Dérivées successives
Formule de Leibniz
Les fonctions circulaires
Sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle
Points extremums, points d’inflexions, convexité, concavité
Théorème de Rolle, généralisation du théorème de Rolle
Théorème des accroissements finis
Inégalité des accroissements finis
Formule généralisée des accroissements finis
Règle de l’Hospita

Chapitre III : L’outil développement limité

 
Introduction

 
Formule de Taylor

• Formule de Taylor-Young
• Formule de Taylor-Lagrange
• Formule de Mac-Laurin

Développement limité au voisinage de l’origine
Propriétés de développement limité au voisinage de l’origine
Développement limité à gauche et à droite de l’origine
Développement limité au voisinage d’un point quelconque
Développement limité au voisinage de l’infini
Calcul des développements limités
Opérations sur les développements limités
Développements limités généralisés au voisinage de l’origine
Développements limités usuels au voisinage de l’origine

Applications des développements limités

• Prolongement par continuité d’une fonction
• Dérivabilité d’une fonction
• Calcul des dérivées successives d’une fonction en un point
• Extremum d’une fonction
• Position d’une courbe par rapport à une tangente
• Recherche des équivalents
• Calcul de limites
• Étude des branches infinies

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